Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${\displaystyle {}\geq 0}$ oder beide ${\displaystyle {}\leq 0}$ sind. Sei also ${\displaystyle {}m}$ positiv und ${\displaystyle {}n}$ negativ. Bei ${\displaystyle {}m\geq -n}$ kann man in ${\displaystyle {}g^{m}g^{n}}$ „innen“ ${\displaystyle {}-n}$-mal ${\displaystyle {}g}$ mit ${\displaystyle {}g^{-1}}$ zu ${\displaystyle {}e_{G}}$ kürzen, und übrig bleibt die ${\displaystyle {}m-(-n)=(m+n)}$-te Potenz von ${\displaystyle {}g}$, also ${\displaystyle {}g^{m+n}}$. Bei ${\displaystyle {}m<-n}$ kann man ${\displaystyle {}m}$-mal ${\displaystyle {}g}$ mit ${\displaystyle {}g^{-1}}$ kürzen und übrig bleibt die ${\displaystyle {}-n-m=-(m+n)}$- te Potenz von ${\displaystyle {}g^{-1}}$. Das ist wieder ${\displaystyle {}g^{m+n}}$.