Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und

${\displaystyle F\colon M\longrightarrow M}$

bijektive Abbildung mit der zugehörigen Gruppenoperation von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$ auf ${\displaystyle {}M}$. Die Operation ist genau dann trivial, wenn ${\displaystyle {}F}$ die Identität ist. Die Fixpunkte der Operation sind genau die Fixpunkte von ${\displaystyle {}F}$. Die Isotropiegruppe zu ${\displaystyle {}x\in M}$ ist ${\displaystyle {}\mathbb {Z} k}$ (${\displaystyle k\geq 1}$), falls ${\displaystyle {}x}$ ein Fixpunkt der ${\displaystyle {}k}$-ten Hintereinanderschaltung ${\displaystyle {}F^{k}}$ und ${\displaystyle {}k}$ minimal mit dieser Eigenschaft ist; andernfalls ist sie gleich ${\displaystyle {}0}$. Die durch ${\displaystyle {}x\in M}$ definierte Bahn besteht aus

${\displaystyle {\left\{F^{n}(x)\mid n\in \mathbb {Z} \right\}}.}$

Dabei können natürlich einzelne Bahnen endlich sein, auch wenn die Operation treu ist.