${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+3y\,\,{\text{ und }}\,\,{\frac {\partial f}{\partial y}}=3x-3y^{2}.}$

Um die kritischen Punkte zu finden setzt man diese beiden Funktionen gleich ${\displaystyle {}0}$. Das bedeutet

${\displaystyle {}x=y^{2}\,}$

und

${\displaystyle {}2y^{2}+3y=y(2y+3)=0\,.}$

Es ist also

${\displaystyle y=0\,\,{\text{ oder }}\,\,y=-{\frac {3}{2}}}$

und daher gibt es die beiden kritischen Punkte

${\displaystyle P_{1}=\left(0,\,0\right)\,\,{\text{ und }}\,\,P_{2}=\left({\frac {9}{4}},\,-{\frac {3}{2}}\right).}$

Die Hesse-Matrix ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\3&-6y\end{pmatrix}}.}$

In ${\displaystyle {}P_{1}}$ ist dies

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\3&0\end{pmatrix}},}$

wobei der erste Minor ${\displaystyle {}2}$ und die Determinante ${\displaystyle {}-9}$ ist. Also liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. In ${\displaystyle {}P_{2}}$ ist die Hesse-Matrix

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&3\\3&9\end{pmatrix}},}$

die Minoren sind ${\displaystyle {}1,2,9}$ und daher ist die Matrix positiv definit und es liegt ein lokales Minimum vor, das auch ein globales Minimum ist.

${\displaystyle {}P_{2}}$

${\displaystyle {}P_{1}}$

${\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(at,\,bt\right),}$

mit ${\displaystyle {}(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$, ${\displaystyle {}(a,b)\neq (0,0)}$, beschrieben. Die eingeschränkte Funktion auf eine solche Gerade ist durch

${\displaystyle {}g(t)=a^{2}t^{2}+3abt^{2}-b^{3}t^{3}\,}$

gegeben. Die Ableitungen davon sind

${\displaystyle {}g'(t)=2a^{2}t+6abt-3b^{3}t^{2}\,,}$

${\displaystyle {}g^{\prime \prime }(t)=2a^{2}+6ab-6b^{3}t\,.}$

und

${\displaystyle {}g^{\prime \prime \prime }(t)=-6b^{3}\,.}$

Im Nullpunkt ist dabei

${\displaystyle {}g'(0)=0\,,}$

${\displaystyle {}g^{\prime \prime }(0)=2a^{2}+6ab=2a(a+3b)\,.}$

und

${\displaystyle {}g^{\prime \prime \prime }(0)=-6b^{3}\,.}$

Bei ${\displaystyle {}a>0}$ und ${\displaystyle {}b>-{\frac {a}{3}}}$ liegt längs dieser Geraden ein lokales Minimum vor. Ebenso bei ${\displaystyle {}a<0}$ und ${\displaystyle {}b<-{\frac {a}{3}}}$. Bei ${\displaystyle {}a<0}$ und ${\displaystyle {}b>-{\frac {a}{3}}}$ und bei ${\displaystyle {}a>0}$ und ${\displaystyle {}b<-{\frac {a}{3}}}$ liegt ein lokales Maximum vor. Bei ${\displaystyle {}a=0}$ ist ${\displaystyle {}b\neq 0}$, die beiden ersten Ableitungen sind ${\displaystyle {}0}$ und die dritte nicht, daher liegt nach Fakt kein lokales Extremum vor. Bei ${\displaystyle {}a\neq 0}$ und ${\displaystyle {}b=-{\frac {a}{3}}}$ liegt aus dem gleichen Grund kein lokales Extremum vor.