{{ Mathematischer Text/Aufgabe |Text= Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich. Betrachte die beiden folgenden Bedingungen:

(1) Es gibt ein Primelement ${\displaystyle {}p\in R}$ mit der Eigenschaft, dass sich jedes Element ${\displaystyle {}f\in R}$, ${\displaystyle {}f\neq 0}$, eindeutig als ${\displaystyle {}f=up^{i}}$ darstellen lässt mit einer Einheit ${\displaystyle {}u}$ und ${\displaystyle {}i\in \mathbb {N} }$.

(2) ${\displaystyle {}R}$ ist ein euklidischer Bereich mit einer surjektiven euklidischen Funktion ${\displaystyle {}\delta :R\setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {N} }$, die zusätzlich die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt. {{ Aufzählung2/a |Es gilt ${\displaystyle {}\delta (fg)=\delta (f)+\delta (g)}$ für alle ${\displaystyle {}f,g\in R\setminus \{0\}}$. |Es gilt {{mathl|term=f {{|}} g|SZ=}} genau dann, wenn ${\displaystyle {}\delta (f)\leq \delta (g)}$ für alle ${\displaystyle {}f,g\in R\setminus \{0\}}$. }} Zeige, dass beide Bedingungen äquivalent sind. Können Sie Beispiele für solche Ringe angeben? |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der euklidischen Bereiche |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Diskrete Bewertungsringe |Punkte=6 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }}