Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein endlichdimensionaler ${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$-Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${\displaystyle {}V=V_{1}\oplus V_{2}\,}$

die direkte Summe der Untervektorräume ${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$. Es seien

${\displaystyle \varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}}$

und

${\displaystyle \varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}}$

lineare Abbildungen und

${\displaystyle {}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,}$

die Summe davon.

1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${\displaystyle {}V_{1}}$ und ${\displaystyle {}V_{2}}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

   ${\displaystyle {}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.}$

2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.