Es sei ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle {}q}$ Elementen und ${\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }$. Es sei ${\displaystyle {}a}$ der größte gemeinsame Teiler von ${\displaystyle {}n}$ und ${\displaystyle {}q-1}$. Zeige, dass es in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ genau ${\displaystyle {}a}$ ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzeln gibt.

Man folgere, dass es ${\displaystyle {}n}$ ${\displaystyle {}n}$-te Einheitswurzeln in ${\displaystyle {}{\mathbb {F} }_{q}}$ genau dann gibt, wenn ${\displaystyle {}n}$ ein Teiler von ${\displaystyle {}q-1}$ ist.