Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen ${\displaystyle {}c_{i}=\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}}$. Damit gilt

${\displaystyle {}c_{i}c_{k}={\left(\sum _{j=1}^{n}t_{ij}b_{j}\right)}{\left(\sum _{m=1}^{n}t_{km}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\,.}$

Wir schreiben ${\displaystyle {}c_{ik}:=S(c_{i}c_{k})}$ und ${\displaystyle {}b_{jm}:=S(b_{j}b_{m})}$. Wegen der ${\displaystyle {}K}$-Linearität der Spur gilt

${\displaystyle {}c_{ik}=S(c_{i}c_{k})=S{\left(\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{j}b_{m}\right)}=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}S(b_{j}b_{m})=\sum _{j,m}t_{ij}t_{km}b_{jm}\,.}$

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen ${\displaystyle {}C={\left(c_{ik}\right)}}$, ${\displaystyle {}B={\left(b_{jm}\right)}}$ und ${\displaystyle {}T={\left(t_{ij}\right)}}$ als

${\displaystyle {}C=T^{\rm {transp}}BT\,}$

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Fakt.