Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette ${\displaystyle {}K\subseteq \operatorname {Fix} \,(G)\subseteq L}$. Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.}$

Nach dem Satz von Artin ist ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L={\#\left(G\right)}}$, also ist ${\displaystyle {}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)=1}$.
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Fakt.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Fakt.
Sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben ${\displaystyle {}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]}$. Die Minimalpolynome ${\displaystyle {}F_{i}\in K[X]}$ der ${\displaystyle {}x_{i}}$ zerfallen wegen der Normalität in ${\displaystyle {}L[X]}$ in Linearfaktoren. Daher können wir Fakt mit ${\displaystyle {}M=L}$ anwenden und erhalten ${\displaystyle {}n=\operatorname {grad} _{K}L}$ Einbettungen von ${\displaystyle {}L}$ nach ${\displaystyle {}L}$ (über ${\displaystyle {}K}$), und somit besitzt die Galoisgruppe ${\displaystyle {}n}$ Elemente.