Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Produktring zu kommutativen Ringen ${\displaystyle {}R_{1},\ldots ,R_{n}}$.
2. Ein über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ algebraisches Element ${\displaystyle {}f\in A}$ einer ${\displaystyle {}K}$-Algebra ${\displaystyle {}A}$.
3. Ein maximales Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}}$ in einem kommutativen Ring ${\displaystyle {}R}$.
4. Ein diskreter Bewertungsring.
5. Zahlentheorie/Ganzheitring/Divisor zu gebrochenem Ideal/Definition/Begriff
6. Eine binäre quadratische Form.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Primzahlverteilung/Divergenz der Primzahlkehrwerte/Fakt/Name
2. Dedekindbereich/Lokalisierung an maximalem Ideal/Diskreter Bewertungsring/Fakt/Name
3. Quadratischer Zahlbereich/Endlichkeit der Klassengruppe/Fakt/Name

Man gebe zwei Primfaktoren von ${\displaystyle {}2^{35}-1}$ an.

1. Gibt es eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+10}$ und ${\displaystyle {}x+20}$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${\displaystyle {}x}$ derart, dass auch ${\displaystyle {}x+10}$ und ${\displaystyle {}x+20}$ Primzahlen sind?

Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Integritätsbereich und ${\displaystyle {}R[X]}$ der Polynomring über ${\displaystyle {}R}$. Zeige, dass die Einheiten von ${\displaystyle {}R[X]}$ genau die Einheiten von ${\displaystyle {}R}$ sind.

Man gebe ein Polynom ${\displaystyle {}P\in {\mathbb {Q} }[X]}$ an, das nicht zu ${\displaystyle {}\mathbb {Z} [X]}$ gehört, aber die Eigenschaft besitzt, dass für jede ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ gilt: ${\displaystyle {}P(n)\in \mathbb {Z} }$.

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b,c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}.}$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${\displaystyle {}a,b\in {]0,1[}}$ und eine rationale Zahl ${\displaystyle {}c\in {]0,1[}}$ mit

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

1. Finde eine ganzzahlige Lösung ${\displaystyle {}(x,y)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,.}$

2. Zeige, dass

   ${\displaystyle \left({\frac {383}{1000}},\,{\frac {129}{100}}\right)}$

   eine Lösung für die Gleichung

   ${\displaystyle {}x^{2}-y^{3}+2=0\,}$

   ist.

Beschreibe den Körper mit neun Elementen ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ als einen Restklassenkörper von ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(3)[X]}$. Man gebe eine primitive Einheit in ${\displaystyle {}\mathbb {F} _{9}}$ an.