Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Befreundete Zahlen.
2. Die Faltung von zahlentheoretischen Funktionen ${\displaystyle {}f,g}$.
3. Ein noetherscher Ring.
4. Die Spur zu einem Element ${\displaystyle {}f\in L}$ bei einer endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}K\subseteq L}$.
5. Die Ordnung zu einem Element ${\displaystyle f\in R,\,f\neq 0}$, in einem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R}$.
6. Ein gebrochenes Hauptideal zu einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$.

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Euler Kriterium/Fakt/Name
2. Kommutative Ringtheorie/Primideal/Charakterisierung mit Restklassenring/Fakt/Name
3. Zahlbereich/Ideale/Zerlegung in Primideale/Fakt/Name

Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}999999}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}{\mathbb {Z} }[{\mathrm {i} }]}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle {}7+4{\mathrm {i} }}$ und ${\displaystyle {}5+3{\mathrm {i} }}$.

Bestimme in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(11)[X]}$ den (normierten) größten gemeinsamen Teiler der beiden Polynome

${\displaystyle X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+3\,\,\,{\text{ und }}\,\,\,X^{2}+7X+10.}$

Bestimme die Anzahl der hinteren Nullen in der Dezimalentwicklung von ${\displaystyle {}100!}$.

Berechne ${\displaystyle {}24^{1000000}}$ in ${\displaystyle {}\mathbb {Z} /(35)}$.

Zeige, dass ${\displaystyle {}-3}$ genau dann ein Quadratrest modulo einer Primzahl ${\displaystyle {}p\neq 2}$ ist, wenn ${\displaystyle {}p=0,1\mod 3}$ ist.

Zeige, dass jedes Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\neq 0}$ in einem Zahlbereich ${\displaystyle {}R}$ eine ganze Zahl ${\displaystyle {}m\neq 0}$ enthält.

Bestimme eine ganze Zahl ${\displaystyle {}n}$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

${\displaystyle {}x^{2}+3x+{\frac {7}{3}}=0\,}$

in ${\displaystyle {}\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]}$ liegen.

Es sei ${\displaystyle {}A_{D}}$ ein quadratischer Zahlbereich. Bestimme die Norm von ${\displaystyle {}{\sqrt {D}}}$ und von ${\displaystyle {}{\frac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$.

Sei ${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ die Nenneraufnahme zu ${\displaystyle {}n}$ (${\displaystyle {}\mathbb {Z} _{n}}$ besteht also aus allen rationalen Zahlen, die man mit einer Potenz von ${\displaystyle {}n}$ als Nenner schreiben kann). Zeige, dass es nur endlich viele Unterringe ${\displaystyle {}R}$ mit

${\displaystyle {}\mathbb {Z} \subseteq R\subseteq \mathbb {Z} _{n}\,}$

gibt, und charakterisiere diese unter Verwendung der Primfaktorzerlegung von ${\displaystyle {}n}$.