Elementare Algebra/Gemischte Definitionsabfrage/4/Aufgabe/Lösung

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Ein Monoid ist eine Menge ${}M$ ${{}} M$ zusammen mit einer Verknüpfung
$\circ \colon M\times M\longrightarrow M$

und einem ausgezeichneten Element ${}e\in M$ derart, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sind.
1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. es gilt
  ${}(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)\,$
  
  für alle ${}x,y,z\in M$ .
2. ${}e$ ist neutrales Element der Verknüpfung, d.h. es gilt
  ${}x\circ e=x=e\circ x\,$
  
  für alle ${}x\in M$ .
Man nennt die kleinste positive Zahl ${}n$ mit ${}g^{n}=e_{G}$ die Ordnung von ${}g$ . Wenn alle positiven Potenzen von ${}g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man ${}\operatorname {ord} \,(g)=\infty$ .
Das Element ${}a$ ist ein Nichtnullteiler, wenn für jedes ${}b\in R$ aus ${}ab=0$ folgt, dass ${}b=0$ ist.
Ein Körper ${}K$ ist ein kommutativer Ring, wenn ${}K\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element in ${}K$ ein multiplikatives Inverses besitzt.
Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$ .
2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$ .
Zu einer natürlichen Zahl ${}n$ bezeichnet ${}{\varphi (n)}$ die Anzahl der Elemente von ${}(\mathbb {Z} /(n))^{\times }$ .
Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, über der ${}F$ in Linearfaktoren zerfällt. Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in L$ die Nullstellen von ${}F$ . Dann nennt man
$K[a_{1},\ldots ,a_{n}]\subseteq L$

einen Zerfällungskörper von ${}F$ .
Eine Zahl ${}z\in \mathbb {C} \cong \mathbb {R} ^{2}\cong E$ heißt konstruierbar, wenn sie aus der Startmenge
$\{0,1\}\subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe

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