Es sei ${\displaystyle {}V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}}$ der Einheitskreis über einem Körper ${\displaystyle {}K}$ und es sei ${\displaystyle {}P=(a,b)\in V}$ ein Punkt.

1. Zeige, dass der lokale Ring ${\displaystyle {}R}$ von ${\displaystyle {}V}$ im Punkt ${\displaystyle {}P}$ ein diskreter Bewertungsring ist.
2. Folgere, dass der Koordinatenring ${\displaystyle {}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)}$ normal ist (man kann ${\displaystyle {}K}$ algebraisch abgeschlossen annehmen).
3. Zeige, dass ${\displaystyle {}K[X,Y]/(X^{2}+Y^{2}-1)}$ nicht faktoriell ist.
4. Bestimme die Ordnung von ${\displaystyle {}X}$ und von ${\displaystyle {}Y-1}$ im lokalen Ring zum Punkt ${\displaystyle {}(0,1)}$.