Es sei eine einfache Singularität gegeben. Wenn der Rang der Hessematrix gleich ${\displaystyle {}2}$ oder gleich ${\displaystyle {}1}$ ist, so zeigen Fakt bzw. Fakt, dass die Singularität rechtsäquivalent zu einer ${\displaystyle {}A}$-Singularität ist. Sei der Rang der Hessematrix also gleich ${\displaystyle {}0}$. Nach Fakt hat das dritte Taylorpolynom nach einer linearen Transformation die Form

${\displaystyle 0{\text{ oder }}x^{2}y+y^{3}{\text{ oder }}x^{2}y{\text{ oder }}x^{3}.}$

Im Fall ${\displaystyle {}x^{2}y}$ liegt nach Fakt eine ${\displaystyle {}D_{k}}$-Singularität mit ${\displaystyle {}k\geq 5}$ vor. Im Fall ${\displaystyle {}x^{3}}$ liegt nach Fakt eine ${\displaystyle {}E}$-Singularität vor. Im Fall ${\displaystyle {}0}$ kann die Singularität nach nicht einfach sein. Es liege also der Fall ${\displaystyle {}x^{2}y+y^{3}}$ vor. Das Jacobiideal hat die Form

${\displaystyle {}J_{f}\subseteq {\left(2xy+h,x^{2}+3y^{2}+g\right)}\,}$

mit ${\displaystyle {}h,g\in {\mathfrak {m}}^{3}}$. Somit enthält das Produktideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}}$ Elemente der Form

${\displaystyle x^{3}y+h_{1},\,x^{2}y^{2}+h_{2},\,xy^{3}+h_{3},\,x^{4}+3x^{2}y^{2}+h_{4},\,x^{2}y^{2}+3y^{4}+h_{4}}$

mit ${\displaystyle {}h_{j}\in {\mathfrak {m}}^{5}}$. Also gilt

${\displaystyle {}{\mathfrak {m}}^{4}\subseteq {\mathfrak {m}}^{2}\cdot J_{f}+{\mathfrak {m}}^{5}\,.}$

Daher ist ${\displaystyle {}f}$ nach Fakt ${\displaystyle {}3}$-bestimmt, und somit ist es rechtsäquivalent zu ${\displaystyle {}x^{2}y+y^{3}}$ selbst, was den ${\displaystyle {}D_{4}}$-Typ ergibt.