Es sei

${\displaystyle {}D(\alpha )={\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}\,}$

die Beschreibung einer Drehung ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der Standardbasis ${\displaystyle {}e_{1},e_{2}}$ des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$. Es sei ${\displaystyle {}u_{1},u_{2}}$ eine Orthonormalbasis des ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{2}}$ derart, dass die Übergangsmatrix zwischen den beiden Basen die Determinante

${\displaystyle {}1}$ besitzt. Zeige, dass ${\displaystyle {}\varphi }$ bezüglich der zweiten Basis ebenfalls durch ${\displaystyle {}D(\alpha )}$ beschrieben wird. Zeige, dass dies ohne die Determinantenbedingung nicht gilt.