Es sei ${\displaystyle {}V}$ ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle {}K}$. Es seien ${\displaystyle {}v_{1},v_{2},v_{3}}$ und ${\displaystyle {}w_{1},w_{2},w_{3}}$ Vektoren in ${\displaystyle {}V}$, die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle {}\varphi \colon V\rightarrow V}$ derart gibt, dass

${\displaystyle {}\varphi (v_{i})\in Kw_{i}\,}$

für ${\displaystyle {}i=1,2,3}$