Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle {}P\in M}$. Wir sagen, dass zwei Kurven

${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}\colon I\longrightarrow M}$

mit ${\displaystyle {}\gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)=P}$ den gleichen Kurvenkeim definieren, wenn es ein ${\displaystyle {}\epsilon >0}$ mit

${\displaystyle {}\gamma _{1}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}=\gamma _{2}\!\mid _{[-\epsilon ,\epsilon ]}\,}$

gibt.

a) Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Kurven ${\displaystyle {}\gamma \colon I\rightarrow M}$ mit ${\displaystyle {}\gamma (0)=P}$ (und mit verschiedenen offenen Intervallen ${\displaystyle {}0\in I}$) definiert.

b) Zeige, dass differenzierbare Kurven,