Sei ${\displaystyle {}t_{0}\in I}$ fixiert und sei ${\displaystyle {}t\in I}$, ${\displaystyle {}t\neq t_{0}}$. Wegen der Linearität ist

${\displaystyle {}L{\left({\frac {f(t)-f(t_{0})}{t-t_{0}}}\right)}={\frac {L(f(t))-L(f(t_{0}))}{t-t_{0}}}\,.}$

D.h. der Differenzenquotient zu ${\displaystyle {}L\circ f}$ ist gleich dem Wert unter ${\displaystyle {}L}$ des Differenzenquotienten zu ${\displaystyle {}f}$. Wegen der Voraussetzung und der Stetigkeit einer linearen Abbildung existiert der Limes links für ${\displaystyle {}t\rightarrow t_{0}}$, also existiert auch der Limes rechts, und das bedeutet, dass der Differentialquotient der zusammengesetzten Abbildung ${\displaystyle {}L\circ f}$ existiert und mit dem Wert unter ${\displaystyle {}L}$ des Differentialquotienten zu ${\displaystyle {}f}$ übereinstimmt.