Wenn ${\displaystyle {}f(a)=f(b)}$ ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Sei also ${\displaystyle {}f(a)\neq f(b)}$. Dann ist ${\displaystyle {}u_{1}={\frac {f(b)-f(a)}{\Vert {f(b)-f(a)}\Vert }}}$ nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von ${\displaystyle {}V}$. Es seien ${\displaystyle {}f_{1},\ldots ,f_{n}}$ die Komponentenfunktionen von ${\displaystyle {}f}$ bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion ${\displaystyle {}f_{1}}$ an. Es gibt also ein ${\displaystyle {}c\in {]a,b[}}$ mit der Eigenschaft

${\displaystyle {}f_{1}(b)-f_{1}(a)=(b-a)\cdot f_{1}'(c)\,}$

und damit auch

${\displaystyle {}\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert =\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \,.}$

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert &=\Vert {(f_{1}(b)-f_{1}(a))u_{1}}\Vert \\&=\vert {f_{1}(b)-f_{1}(a)}\vert \\&=\vert {b-a}\vert \cdot \vert {f_{1}'(c)}\vert \\&\leq \vert {b-a}\vert \cdot {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}'(c)\right)}^{2}}}\\&=\vert {b-a}\vert \cdot \Vert {f'(c)}\Vert .\end{aligned}}}$