Zu zwei Diagonalmatrizen

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}}$

und Skalare ${\displaystyle {}s,t\in K}$ ist auch

${\displaystyle {}{\begin{aligned}s{\begin{pmatrix}a_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&a_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&a_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&a_{n}\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}b_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&b_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}sa_{1}+tb_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&sa_{2}+tb_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&sa_{n-1}+tb_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&sa_{n}+tb_{n}\end{pmatrix}}\\\,\end{aligned}}}$

ebenfalls eine Diagonalmatrix, daher liegt ein Untervektorraum vor. Die Diagonalmatrizen ${\displaystyle {}D_{i}}$, ${\displaystyle {}1\leq i\leq n}$, deren ${\displaystyle {}i}$-ter Diagonaleintrag eine ${\displaystyle {}1}$ ist und die sonst überall Nulleinträge haben, bilden offenbar eine Basis

${\displaystyle {}n}$