Wir fixieren die Matrix ${\displaystyle {}B}$. Es sei zunächst ${\displaystyle {}\det B=0}$. Dann ist nach Fakt die Matrix ${\displaystyle {}B}$ nicht invertierbar und damit ist auch ${\displaystyle {}A\circ B}$ nicht invertierbar und somit wiederum ${\displaystyle {}\det A\circ B=0}$. Sei nun ${\displaystyle {}B}$ invertierbar. In diesem Fall betrachten wir die wohldefinierte Abbildung

${\displaystyle \delta \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto (\det A\circ B)(\det B)^{-1}.}$

Wir wollen zeigen, dass diese Abbildung gleich der Abbildung ${\displaystyle {}A\mapsto \det A}$ ist, indem wir die die Determinante charakterisierenden Eigenschaften nachweisen und Fakt anwenden. Wenn ${\displaystyle {}z_{1},\ldots ,z_{n}}$ die Zeilen von ${\displaystyle {}A}$ sind, so ergibt sich ${\displaystyle {}\delta (A)}$, indem man auf die Zeilen ${\displaystyle {}z_{1}B,\ldots ,z_{n}B}$ die Determinante anwendet und mit ${\displaystyle {}(\det B)^{-1}}$ multipliziert. Daher folgt die Multilinearität und die alternierende Eigenschaft aus Aufgabe. Wenn man mit ${\displaystyle {}A=E_{n}}$ startet, so ist ${\displaystyle {}A\circ B=B}$ und daher ist

${\displaystyle {}\delta (E_{n})=(\det B)\cdot (\det B)^{-1}=1\,.}$