Nach Fakt und Fakt ist ${\displaystyle {}{\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}}$ mit Primidealen ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}_{j}}$ und

${\displaystyle {}R/{\mathfrak {a}}=R/{\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times R/{\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}\,.}$

Ein Produktring ist genau dann ein Hauptidealring, weder jeder Faktorring ein Hauptidealring ist. Es muss also gezeigt werden, dass ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}^{r}}$ ein Hauptidealring ist. Wegen

${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}^{r}=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}^{r}R_{\mathfrak {p}}\,}$

ist dieser Restklassenring aber ein Restklassenring des diskreten Bewertungsringes

${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$