Nach dem chinesischen Restsatz für Dedekindbereiche ist

${\displaystyle {}S/{\mathfrak {p}}S=S/{\mathfrak {q}}_{1}^{e_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{e_{k}}\,.}$

Wir können über dem diskreten Bewertungsring ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {p}}}$ argumentieren, also davon ausgehen, dass ${\displaystyle {}R}$ ein diskreter Bewertungsring mit dem maximalen Ideal ${\displaystyle {}{\mathfrak {p}}}$ ist. Die angeführten Restklassenringe ändern sich dadurch nicht. Es ist ${\displaystyle {}S}$ ein freier ${\displaystyle {}R}$-Modul vom Rang ${\displaystyle {}n}$ und somit ist

${\displaystyle {}S/{\mathfrak {p}}S=S\otimes _{R}R/{\mathfrak {p}}\,}$

ein ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$-Vektorraum der Dimension ${\displaystyle {}n}$. Oben rechts steht das Produkt der ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$-Vektorräume ${\displaystyle {}S/{\mathfrak {q}}_{j}^{e_{j}}}$ und es ist zu zeigen, dass deren ${\displaystyle {}R/{\mathfrak {p}}}$-Dimension gleich ${\displaystyle {}e_{j}f_{j}}$ ist. Dies zeigen wir durch Induktion über ${\displaystyle {}e=e_{j}}$, wobei der Induktionsanfang für ${\displaystyle {}e=1}$ die Definition des Trägheitsgrades ${\displaystyle {}f_{j}}$ ist. Wegen ${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{e+1}\subseteq {\mathfrak {q}}^{e}}$ liegt eine kurze exakte Sequenz

${\displaystyle 0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e+1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {q}}^{e}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0}$

vor. Dabei ist

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}^{e}/{\mathfrak {q}}^{e+1}={\mathfrak {q}}^{e}S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}^{e+1}S_{\mathfrak {q}}=S_{\mathfrak {q}}/{\mathfrak {q}}S_{\mathfrak {q}}=S/{\mathfrak {q}}\,.}$

Deshalb folgt die Aussage aufgrund der Vektorraumadditivität in kurzen exakten Sequenzen.