Sei ${\displaystyle {}\tau \in H}$. Dann ist

${\displaystyle {}f_{j}\tau ={\left(\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \right)}\tau =\sum _{\sigma \in H_{j}}f\sigma \tau =\sum _{\rho \in H_{j}}f\rho \,,}$

deshalb sind die ${\displaystyle {}f_{j}}$ ${\displaystyle {}H}$-invariant. Die lineare Unabhängigkeit der ${\displaystyle {}f\sigma }$ überträgt sich auf die ${\displaystyle {}f_{j}}$, da die Nebenklassen disjunkt sind. Der Index von ${\displaystyle {}H}$ in ${\displaystyle {}G}$, also ${\displaystyle {}k}$, stimmt mit dem ${\displaystyle {}R}$-Rang von ${\displaystyle {}S^{H}}$ nach der Galoiskorrespondenz überein. Es sei ${\displaystyle {}g=\sum _{\sigma \in G}a_{\sigma }f\sigma \in S}$ ein ${\displaystyle {}H}$-invariantes Element. Es ist zu zeigen, dass dies eine ${\displaystyle {}R}$-Linearkombination der ${\displaystyle {}f_{j}}$ ist. Indem wir eine passende Kombination der ${\displaystyle {}f_{j}}$ abziehen, können wir davon ausgehen, dass in jeder Teilsumme über der Nebenklasse ${\displaystyle {}H_{j}}$ ein Koeffizient ${\displaystyle {}a_{\sigma }}$ mit ${\displaystyle {}\sigma \in H_{j}}$ gleich ${\displaystyle {}0}$ ist. Dann muss auch

${\displaystyle {}a_{\sigma \tau }=0\,}$

für alle ${\displaystyle {}\tau \in H}$ sein und dann ist überhaupt

${\displaystyle {}g=0}$