Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen

${\displaystyle \varphi ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils ${\displaystyle {}X^{2}}$. Ihre Summe ist

${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,}$

und das charakteristische Polynom davon ist ${\displaystyle {}X^{2}-1}$. Wenn man dagegen ${\displaystyle {}\varphi }$ zweimal nimmt, also ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle {}X^{2}}$