Die Folge ${\displaystyle {}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }}$ sei durch

${\displaystyle {}a_{0}\leq x_{n}\leq b_{0}\,}$

beschränkt. Wir definieren zuerst induktiv eine Intervallhalbierung derart, dass in den Intervallen unendlich viele Folgenglieder liegen. Das Startintervall ist ${\displaystyle {}I_{0}:=[a_{0},b_{0}]}$. Sei das ${\displaystyle {}k}$-te Intervall ${\displaystyle {}I_{k}}$ bereits konstruiert. Wir betrachten die beiden Hälften

${\displaystyle [a_{k},{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}}]\,\,{\text{ und }}\,\,[{\frac {a_{k}+b_{k}}{2}},b_{k}].}$

In mindestens einer der Hälften liegen unendlich viele Folgenglieder, und wir wählen als Intervall ${\displaystyle {}I_{k+1}}$ eine Hälfte mit unendlich vielen Gliedern. Da sich bei diesem Verfahren die Intervalllängen mit jedem Schritt halbieren, liegt eine Intervallschachtelung vor. Als Teilfolge wählen wir nun ein beliebiges Element

${\displaystyle {}x_{n_{k}}\in I_{k}\,}$

mit ${\displaystyle {}n_{k}>n_{k-1}}$. Dies ist möglich, da es in diesen Intervallen unendlich viele Folgenglieder gibt. Diese Teilfolge konvergiert nach Aufgabe gegen die durch die Intervallschachtelung bestimmte Zahl ${\displaystyle {}x}$.