Untersuche die Funktionenfolge

${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

mit

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {ne^{x}+xe^{-x}}{n+x}}}$

auf punktweise Konvergenz und gleichmäßige Konvergenz und bestimme gegebenenfalls die Grenzfunktion.

Bestimme ferner

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}(x^{2}+1)f_{n}(x)dx.}$