Es sei ${\displaystyle {}T}$ eine Menge und

${\displaystyle {}M={\left\{f:T\rightarrow \mathbb {C} \mid \Vert {f}\Vert _{T}<\infty \right\}}\,}$

die Menge der beschränkten komplexwertigen Funktionen auf ${\displaystyle {}T}$. Zeige, dass die Supremumsnorm auf ${\displaystyle {}M}$ folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert \geq 0}$ für alle ${\displaystyle {}f\in M}$.
2. ${\displaystyle {}\Vert {f}\Vert =0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}f=0}$ ist.
3. Für ${\displaystyle {}\lambda \in \mathbb {C} }$ und ${\displaystyle {}f\in M}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {\lambda f}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {f}\Vert \,.}$

4. Für ${\displaystyle {}g,f\in M}$ gilt

   ${\displaystyle {}\Vert {g+f}\Vert \leq \Vert {g}\Vert +\Vert {f}\Vert \,.}$