Es sei ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}=v_{1},v_{2},v_{3}}$ eine Basis eines dreidimensionalen ${\displaystyle {}K}$-Vektorraumes ${\displaystyle {}V}$.

a) Zeige, dass ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}=v_{1},v_{1}+v_{2},v_{2}+v_{3}}$ ebenfalls eine Basis von ${\displaystyle {}V}$ ist.

b) Bestimme die Übergangsmatrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {w}}}$.

c) Bestimme die Übergangsmatrix ${\displaystyle {}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}}$.

d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ die Koordinaten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}4\\8\\-9\end{pmatrix}}}$ besitzt.

e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {w}}}$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis ${\displaystyle {}{\mathfrak {v}}}$ die Koordinaten ${\displaystyle {}{\begin{pmatrix}3\\-7\\5\end{pmatrix}}}$ besitzt.