(1). Wegen der Widerspruchsfreiheit können nicht sowohl ${\displaystyle {}\alpha }$ als auch ${\displaystyle {}\neg \alpha }$ zu ${\displaystyle {}\Gamma }$ gehören. Wenn weder ${\displaystyle {}\alpha }$ noch ${\displaystyle {}\neg \alpha }$ zu ${\displaystyle {}\Gamma }$ gehören, so ist entweder ${\displaystyle {}\Gamma \cup \{\alpha \}}$ oder ${\displaystyle {}\Gamma \cup \{\neg \alpha \}}$ widerspruchsfrei. Wären nämlich beide widersprüchlich, so würde für einen beliebigen Ausdruck ${\displaystyle {}\beta }$ sowohl

${\displaystyle \Gamma \cup \{\alpha \}\vdash \beta }$

als auch

${\displaystyle \Gamma \cup \{\neg \alpha \}\vdash \beta }$

gelten. Dies bedeutet nach Aufgabe

${\displaystyle \Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta }$

und

${\displaystyle \Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta ,}$

woraus aufgrund der Fallunterscheidungsregel

${\displaystyle \Gamma \vdash \beta }$

folgt. Dies bedeutet aber, dass ${\displaystyle {}\Gamma }$ widersprüchlich ist.
(2). Sei ${\displaystyle {}\Gamma \vdash \alpha }$. Nach (1) ist ${\displaystyle {}\alpha \in \Gamma }$ oder ${\displaystyle {}\neg \alpha \in \Gamma }$. Das zweite kann nicht sein, da sich daraus sofort ein Widerspruch ergeben würde. Also ist ${\displaystyle {}\alpha \in \Gamma }$.
(3) folgt aus (2) und der Konjunktionsregel.
(4). Aufgrund von (1) müssen wir die Äquivalenz ${\displaystyle {}\neg {\left(\alpha \rightarrow \beta \right)}\in \Gamma }$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\alpha \in \Gamma }$ und ${\displaystyle {}\neg \beta \in \Gamma }$ zeigen. Dies ergibt sich aus (3).