Aussagenlogik/Ableitungsbeziehung/Regeln/Fakt

Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{V}$ eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge ${}V$ .

Dann gelten folgende Regeln für die Ableitungsbeziehung (dabei seien $\alpha ,\beta ,\gamma ,\alpha _{i}$ Aussagen).

Konjunktionsregel: ${}\Gamma \vdash \alpha \wedge \beta$ genau dann, wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \beta$ .

Kettenschlussregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und ${}\Gamma \vdash \beta \rightarrow \gamma$ , dann auch ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \gamma$ .

Modus Ponens: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ , dann ist auch ${}\Gamma \vdash \beta$ .

Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ , so auch ${}\Gamma \vdash \beta \rightarrow \alpha$ .

Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha _{1},\ldots ,\Gamma \vdash \alpha _{n}$ und ${}\Gamma \vdash \alpha _{1}\wedge \ldots \wedge \alpha _{n}\rightarrow \beta$ , dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$ .

Widerspruchsregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha$ , dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$ .

Fallunterscheidungsregel: Wenn ${}\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta$ und ${}\Gamma \vdash \neg \alpha \rightarrow \beta$ , dann auch ${}\Gamma \vdash \beta$ .

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