Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein archimedisch angeordneter Körper und sei ${\displaystyle {}P(x)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}}$ ein Polynom mit ${\displaystyle {}d\geq 1}$ und ${\displaystyle {}a_{d}\neq 0}$ . Zeige, dass dann die durch

${\displaystyle {}y_{n}:=P(n)=\sum _{i=0}^{d}a_{i}n^{i}\,}$

definierte Folge bestimmt gegen ${\displaystyle {}+\infty }$ divergiert, falls ${\displaystyle {}a_{d}>0}$ ist, und bestimmt gegen ${\displaystyle {}-\infty }$ divergiert, falls ${\displaystyle {}a_{d}<0}$ ist.

Man folgere, dass die Folgenglieder

${\displaystyle {\frac {1}{y_{n}}}}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}0}$