Analysis 2/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

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Sei ${}V$ ${{}} V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ ${{}} \R$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ ${}\left\langle -,-\right\rangle$ . Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind $u,v,w\in V$ $u,v,w\in V$ ).
1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$ .
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$ .
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$ .
4. Es ist
  ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$
Es gibt ein ${}c\in [a,b]$ mit
${}\Vert {f(b)-f(a)}\Vert \leq (b-a)\cdot \Vert {f'(c)}\Vert \,.$
Sei ${}G\subseteq V$ offen und ${}\varphi \colon G\rightarrow W$ eine Abbildung, so dass für ${}u,v\in V$ die zweiten Richtungsableitungen ${}D_{v}D_{u}\varphi$ und ${}D_{u}D_{v}\varphi$ existieren und stetig sind. Dann gilt
$D_{v}D_{u}\varphi =D_{u}D_{v}\varphi .$
Wenn die Abbildungen ${}f_{n}$ alle stetig sind, so ist auch die Grenzabbildung ${}f$ stetig.

Zur gelösten Aufgabe

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