${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle {}a\in I}$

${\displaystyle {}r}$

${\displaystyle {}I}$

${\displaystyle f,h\colon I\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}}$

stetige Funktionen mit

${\displaystyle f(t)\leq h(t){\text{ für alle }}t\in I}$

und es sei vorausgesetzt, dass das uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{a}^{r}h(t)\,dt}$

existiert. Dann existiert auch das uneigentliche Integral

${\displaystyle \int _{a}^{r}f(t)\,dt}$

und es gilt

${\displaystyle \int _{a}^{r}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{r}h(t)\,dt.}$

${\displaystyle {}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle f\colon T\longrightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion.

${\displaystyle {}x\in T}$

${\displaystyle f(x)\geq f(x'){\text{ für alle }}x'\in T.}$

${\displaystyle {}V,W}$

${\displaystyle {}U}$

${\displaystyle {}{\mathbb {K} }}$

${\displaystyle {}G\subseteq V}$

${\displaystyle {}D\subseteq W}$

${\displaystyle {}\varphi \colon G\rightarrow W}$

${\displaystyle {}\psi \colon D\rightarrow U}$

${\displaystyle {}\varphi (G)\subseteq D}$

${\displaystyle {}\varphi }$

${\displaystyle {}P\in G}$

${\displaystyle {}\psi }$

${\displaystyle {}\varphi (P)\in D}$

${\displaystyle {}\psi \circ \varphi \colon G\rightarrow U}$

${\displaystyle {}P}$

${\displaystyle {}\left(D(\psi \circ \varphi )\right)_{P}=\left(D\psi \right)_{\varphi (P)}\circ \left(D\varphi \right)_{P}\,.}$

${\displaystyle {}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${\displaystyle {}G}$ ist ein Gradientenfeld.
2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${\displaystyle {}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U}$ hängt das Wegintegral ${\displaystyle {}\int _{\gamma }G}$ nur vom Anfangspunkt ${\displaystyle {}\gamma (a)}$ und Endpunkt ${\displaystyle {}\gamma (b)}$ ab.