Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/2/Aufgabe/Lösung

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Man nennt
${\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde.
Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt ${}R$ -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes ${}u\in U$ und ${}r\in R$ auch ${}ru\in U$ ist.
Man nennt den Unterring
${}R_{S}:={\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}}\subseteq Q(R)\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$ .
Unter einer affinen Varietät versteht man das ${}K$ -Spektrum zu einer ${}K$ -Algebra von endlichem Typ ${}R$ , wobei alle Zariski-offenen Mengen ${}U$ mit dem Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen sind.
Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form
${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

mit ${}e_{i}\geq 1$ für alle ${}i$ .
Unter der Schnittmultiplizität von ${}V(F)$ und ${}V(G)$ in ${}P$ versteht man die Dimension
$\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}.$

Zur gelösten Aufgabe

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