Algebraische Kurven/Gemischte Definitionsabfrage/13/Aufgabe/Lösung

Man nennt ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$ den affinen Raum über ${}K$ der Dimension ${}n$ .
Zwei rationale Funktionen ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$ und ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$ mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$ , ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$ , heißen eine rationale Parametrisierung der algebraischen Kurve ${}V(F)$ , wenn
${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$

ist und ${}(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.
Eine stetige Abbildung
${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

heißt Morphismus, wenn für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ und jede algebraische Funktion ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.
Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.
Man nennt die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} \setminus M$ , den Singularitätsgrad von ${}M$ .
Man nennt
$V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

das projektive Nullstellengebilde zu ${}{\mathfrak {a}}$ .

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