Nach der Definition ist

${\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,}$

und ${\displaystyle {}{\overrightarrow {PQ}}}$ ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.

(1). Es ist einerseits nach der Vorbemerkung

${\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PP}}=P\,}$

und andererseits nach der ersten Eigenschaft der Definition

${\displaystyle {}P+0=P\,,}$

also ist

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PP}}=0\,.}$

(2). Es ist einerseits

${\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PQ}}=Q\,}$

und andererseits

${\displaystyle {}Q=Q+0=Q+({\overrightarrow {QP}}-{\overrightarrow {QP}})=P-{\overrightarrow {QP}}\,,}$

also ist

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PQ}}=-{\overrightarrow {QP}}\,.}$

(3). Es ist

${\displaystyle {}P+{\overrightarrow {PR}}=R=Q+{\overrightarrow {QR}}={\left(P+{\overrightarrow {PQ}}\right)}+{\overrightarrow {QR}}=P+{\left({\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\right)}\,,}$

also ist

${\displaystyle {}{\overrightarrow {PR}}={\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}\,.}$