Ein affiner Raum über einem ${\displaystyle {}K}$-Vektorraum ${\displaystyle {}V}$ ist eine Menge ${\displaystyle {}E}$ zusammen mit einer Abbildung

${\displaystyle V\times E\longrightarrow E,\,(v,P)\longmapsto P+v,}$

die den drei Bedingungen

1. ${\displaystyle {}P+0=P}$ für alle ${\displaystyle {}P\in E}$,
2. ${\displaystyle {}(P+v)+w=P+(v+w)}$ für alle ${\displaystyle {}v,w\in V}$ und ${\displaystyle {}P\in E}$,
3. Zu je zwei Punkten ${\displaystyle {}P,Q\in E}$ gibt es genau einen Vektor ${\displaystyle {}v\in V}$ mit ${\displaystyle {}Q=P+v}$,

genügt.