Sei

${\displaystyle V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots }$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${\displaystyle {}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}}$. Daraus folgt nach Fakt ${\displaystyle {}\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})}$ für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für ${\displaystyle {}i\geq i_{0}}$. Nach Fakt  (3) ist ${\displaystyle {}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))}$. Daraus folgt dann aber für ${\displaystyle {}i\geq i_{0}}$, dass

${\displaystyle {}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,}$

so dass die absteigende Kette stationär werden muss.