Wir betrachten die Körpererweiterung

${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq L:=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [\zeta _{8}]\,}$

mit ${\displaystyle {}\zeta _{8}={\frac {1}{2}}{\left({\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}{\mathrm {i} }\right)}}$. Bestimme die Minimalpolynome zu ${\displaystyle {}\zeta _{8}}$ über den folgenden Zwischenkörpern ${\displaystyle {}M}$, ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L}$.

1. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} }$.
2. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]}$.
3. ${\displaystyle {}M=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$.
4. ${\displaystyle {}M=L}$.