Der Induktionsanfang für ${\displaystyle {}n=1}$ ist gesichert wegen

${\displaystyle {}f'=f'\cdot 1=f'\cdot \prod _{i=1}^{0}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\,.}$

Sei die Aussage für die ${\displaystyle {}n}$-te Hintereinanderschaltung schon bewiesen. Dann gilt unter Verwendung der Kettenregel (mit ${\displaystyle {}f}$ als äußerer und ${\displaystyle {}f^{\circ n}}$ als innerer Funktion) und der Induktionsvoraussetzung die Beziehung

${\displaystyle {}{\begin{aligned}{\left(f^{\circ n+1}\right)}'&={\left(f\circ f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f^{\circ n}\right)}'\\&={\left(f'\circ f^{\circ n}\right)}\cdot {\left(f'\cdot \prod _{i=1}^{n-1}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)}\right)}\\&=f'\cdot \prod _{i=1}^{n}{\left(f'\circ f^{\circ i}\right)},\end{aligned}}}$