Es seien ${\displaystyle {}D}$ und ${\displaystyle {}W}$ Mengen, wobei ${\displaystyle {}D}$ endlich sei. Es sei ${\displaystyle {}\sim }$ die Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle {}\operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}}$ aus Aufgabe und sei

${\displaystyle \Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)},\,f\longmapsto {\left(w\mapsto {\#\left(f^{-1}(w)\right)}\right)},}$

die in Aufgabe besprochene Abbildung.

1. Es sei ${\displaystyle {}\pi \colon D\rightarrow D}$ eine bijektive Abbildung und ${\displaystyle {}f\colon D\rightarrow W}$ eine Abbildung. Zeige

   ${\displaystyle {}\Psi (f)=\Psi (f\circ \pi )\,.}$

2. Es seien ${\displaystyle {}f,g\colon D\rightarrow W}$. Zeige ${\displaystyle {}f\sim g}$ genau dann, wenn ${\displaystyle {}\Psi (f)=\Psi (g)}$ ist.
3. Zeige, dass es eine injektive Abbildung

   ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}\colon \operatorname {Abb} \,{\left(D,W\right)}/\sim \!\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(W,\mathbb {N} \right)}}$

   mit ${\displaystyle {}\Psi ={\tilde {\Psi }}\circ p}$ gibt, wobei ${\displaystyle {}p}$ die kanonische Projektion in die Quotientenmenge bezeichnet.