Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper und sei

${\displaystyle {}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,}$

die Menge aller invertierbaren ${\displaystyle {}2\times 2}$-Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${\displaystyle {}M}$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

${\displaystyle M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,}$

ein Gruppenhomomorphismus