Es sei ${\displaystyle {}M}$ eine Menge und seien ${\displaystyle {}\sim _{1}}$ und ${\displaystyle {}\sim _{2}}$ Äquivalenzrelationen auf ${\displaystyle {}M}$ mit den zugehörigen kanonischen Abbildungen

${\displaystyle p_{1}\colon M\longrightarrow Q_{1}}$

und

${\displaystyle p_{2}\colon M\longrightarrow Q_{2}.}$

Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. ${\displaystyle {}\sim _{1}}$ ist eine Verfeinerung von ${\displaystyle {}\sim _{2}}$.
2. Für die Äquivalenzklassen zu jedem Element ${\displaystyle {}x\in M}$ gilt ${\displaystyle {}[x]_{1}\subseteq [x]_{2}}$.
3. Es ist (als Teilmengen von ${\displaystyle {}M\times M}$)

   ${\displaystyle {}\sim _{1}\subseteq \sim _{2}\,.}$

4. Es gibt eine Abbildung

   ${\displaystyle \psi \colon Q_{1}\longrightarrow Q_{2}}$

   mit ${\displaystyle {}\psi \circ p_{1}=p_{2}}$.