Ohne Einschränkung sei ${\displaystyle {}a\leq b}$. Wir bezeichnen die Inhalte in den Eimern zu einem bestimmten Zeitpunkt in Paarschreibweise mit ${\displaystyle {}(u,v)}$, wobei ${\displaystyle {}u}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}a}$ und ${\displaystyle {}v}$ zwischen ${\displaystyle {}0}$ und ${\displaystyle {}b}$ liegt. Es sei ${\displaystyle {}r}$ der Rest von ${\displaystyle {}-b}$ bei Division durch ${\displaystyle {}a}$. Wir behaupten, dass wenn man die Belegung ${\displaystyle {}(u,0)}$ durch die erlaubten Schritte erzielen kann, dass man dann auch ${\displaystyle {}(u',0)}$ erzielen kann, wobei ${\displaystyle {}u'}$ den Rest von ${\displaystyle {}u+r}$ modulo ${\displaystyle {}a}$ bezeichnet. Wir starten also mit

${\displaystyle (u,0).}$

Durch Umschüttung kann man

${\displaystyle (0,u)}$

erreichen. Durch Auffüllen des kleinen Eimers und anschließende Umfüllung in den großen kann man

${\displaystyle (0,u+a)}$

erreichen, und ebenso der Reihe nach

${\displaystyle (0,u+2a),\,(0,u+2a),\ldots ,(0,u+ka),}$

wobei ${\displaystyle {}k}$ so gewählt sei, dass

${\displaystyle {}u+ka\leq b\,}$

und

${\displaystyle {}u+(k+1)a>b\,}$

sei. Von hier aus erreichen wir

${\displaystyle (a,u+ka).}$

Wir füllen nun den Inhalt des ersten Eimers in den zweiten, bis dieser voll ist. Sei ${\displaystyle {}m}$ die umgefüllte Menge. Diese erfüllt

${\displaystyle {}u+ka+m=b\,.}$

Die im ersten Eimer verbleibende Wassermenge ist somit

${\displaystyle {}a-m=a-(b-u-ka)=u+(k+1)a-b\,.}$

Diese Menge ist also der Rest von ${\displaystyle {}u-b=u+r}$ modulo ${\displaystyle {}a}$,wie behauptet.

Aufgrund von dieser Beobachtung können wir der Reihe nach folgende Belegungen erzielen (bzw. die Reste davon modulo a).

${\displaystyle (0,0),(r,0),(2r,0),(3r,0),\ldots .}$

Da ${\displaystyle {}b}$ teilerfremd zu ${\displaystyle {}a}$ ist, gibt es nach dem Lemma von Bezout positive ganze Zahlen ${\displaystyle {}n,m}$ mit

${\displaystyle {}ma-nb=1\,}$

(Falls ${\displaystyle {}n,m}$ negativ sind, betrachtet man einfach ${\displaystyle {}(sb+m)a-(sa+n)b=1}$ für ein ausreichend großes ${\displaystyle {}s}$).

Somit ist modulo ${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}nr\equiv -nb=1-ma=1\,,}$

${\displaystyle {}a}$

${\displaystyle {}n}$

${\displaystyle {}nr}$

${\displaystyle {}1}$