Es sei ${\displaystyle {}K}$ ein Körper.

1. Man zeige, dass für ${\displaystyle {}K=\mathbb {R} }$ bzw. ${\displaystyle {}K=\mathbb {C} }$ die Standardtopologie (die metrische oder euklidische Topologie) feiner ist als die Zariski-Topologie.
2. Man zeige, dass für ${\displaystyle {}K[X]}$ die Zariski-Topologie mit der kofiniten Topologie übereinstimmt. Gilt dies auch für ${\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$ mit ${\displaystyle {}n>1}$?
3. Wann ist die Zariski-Topologie ${\displaystyle {}T_{1}}$, wann ist sie hausdorffsch?
4. Wie sieht die Zariski-Topologie aus, wenn ${\displaystyle {}K}$ ein endlicher Körper ist?