Ist ${\displaystyle {}a}$ nicht durch ${\displaystyle {}p}$ teilbar, so definiert ${\displaystyle {}a}$ ein Element ${\displaystyle {}{\bar {a}}}$ in der Einheitengruppe ${\displaystyle {}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }}$; diese Gruppe hat die Ordnung ${\displaystyle {}p-1}$, und nach dem Satz von Lagrange gilt ${\displaystyle {}{\bar {a}}^{p-1}=1}$. Durch Multiplikation mit ${\displaystyle {}a}$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von ${\displaystyle {}p}$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig ${\displaystyle {}0}$ steht.