Wegen

${\displaystyle {}v-v=0\in U\,}$

ist ${\displaystyle {}v\sim v}$, die Relation ist also reflexiv. Es sei nun ${\displaystyle {}v\sim u}$. Dies bedeutet

${\displaystyle {}v-u\in U\,.}$

Somit ist auch

${\displaystyle {}u-v=-(v-u)\in U\,}$

und damit ist auch ${\displaystyle {}u\sim v}$, was die Symmetrie bedeutet. Sei schließlich ${\displaystyle {}u\sim v}$ und ${\displaystyle {}v\sim w}$. Dies bedeutet

${\displaystyle {}u-v\in U\,}$

und

${\displaystyle {}v-w\in U\,.}$

Wegen der Abgeschlossenheit eines Untervektorraumes unter Addition gilt somit

${\displaystyle {}(u-v)+(v-w)=u-w\in U\,,}$

was ${\displaystyle {}u=w}$