Wir betrachten das multiplikative System ${\displaystyle {}S={\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}}$ und ziehen die exakte Sequenz

${\displaystyle 1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow R_{S}^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ^{({\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}})}\longrightarrow \operatorname {KG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {KG} {\left(R_{S}\right)}\longrightarrow 0}$

aus Fakt heran. Dabei ist

${\displaystyle {}{\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}}={\left\{{\mathfrak {p}}\mid f\in {\mathfrak {p}}\right\}}=\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}\,.}$

Nach Fakt ist die Einheitswurzelgruppe von ${\displaystyle {}R_{f}}$ gleich der von ${\displaystyle {}R}$ (da sie gleich derjenigen des Quotientenkörpers ist), deshalb müssen wir lediglich noch den Rang von ${\displaystyle {}R^{\times }}$ bestimmen. Nach Fakt ist die Divisorenklassengruppe ${\displaystyle {}\operatorname {KG} {\left(R\right)}}$ endlich, deshalb ist der Rang von ${\displaystyle {}R^{\times }}$ aufgrund des Dirichletschen Einheitensatzes und der Addititvität des Ranges in kurzen exakten Sequenzen gleich

${\displaystyle {}\operatorname {rang} \,R_{f}^{\times }=\operatorname {rang} \,R^{\times }+\operatorname {rang} \,\mathbb {Z} ^{\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}}=r+s-1+k\,.}$