Nach Korollar ist ${\displaystyle R\cong \mathbb {Z} ^{n}}$, und zwar sei ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ eine ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Basis. Sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein von null verschiedenes Ideal. Dann gibt es nach Lemma ein Element ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}}$, ${\displaystyle m\neq 0}$. Ein Element ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle R/{\mathfrak {a}}}$ wird repräsentiert durch ${\displaystyle a_{1}b_{1}+\ldots +a_{n}b_{n}}$ mit ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$. Wegen ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \cap {\mathfrak {a}}}$ ist auch ${\displaystyle mb_{i}\in {\mathfrak {a}}}$ und daher kann man ${\displaystyle x}$ auch repräsentieren mit ${\displaystyle a_{i}}$ zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle m-1}$, so dass also der Restklassenring maximal ${\displaystyle m^{n}}$ Elemente besitzt.