Sei ${\displaystyle {}R}$ ein Zahlbereich. Dann hat die Abbildung, die einem Ringelement ${\displaystyle {}\neq 0}$ den Hauptdivisor zuordnet, also

${\displaystyle R\setminus \{0\}\longrightarrow \operatorname {Hauptdivisoren} ,\,f\longmapsto \operatorname {div} {\left(f\right)},}$

folgende Eigenschaften.

1. ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(fg\right)}=\operatorname {div} {\left(f\right)}+\operatorname {div} {\left(g\right)}\,.}$

2. ${\displaystyle {}\operatorname {div} {\left(f+g\right)}\geq {\min {\left(\operatorname {div} {\left(f\right)},\operatorname {div} {\left(g\right)}\right)}}\,.}$

Hierbei sind die Operationen rechts punktweise definiert.